Welcome!

Hi, this a part of my work in the course “Measure theory and integration” at the University of Calgary. I discuss the concept of Hausdorff dimension and its application to fractals. You can download the pdf file here

Conversion between objects I would like to begin this article with a question. Is there a way to turn bread into sugar? The answer from biology is yes. $$\textrm{Bread} \xrightarrow{\text{chewing}} \textrm{Smaller pieces of bread}$$ $$\textrm{Smaller pieces of bread} \xrightarrow{\text{enzyme}} \textrm{Sugar}$$ The question of whether or not there is a way is different from the question of whether or not the way is practical. A practicality question may ask whether or not a person can do this....

A wavefunction is a mathematical object which represents a quantum state. Many would have been introduced to wavefunctions from Schrödinger’s cat or the double-slit experiment. However, there is a more straightforward way to present the concept of wavefunction without resorting to the complex historical development of physics. Often, the wavefunction is introduced by not knowing exactly where a particle is or its state. This is inaccurate because wavefunction is about something other than the lack of knowledge but the nature of quantum state and measurement....

เรารู้ว่ามีสิ่งที่เรียกว่าจำนวนจินตภาพอยู่ นั่นคือจำนวนที่เป็นรากที่สอง (Square root) ของจำนวนที่เป็นลบ เช่น รากที่สองของลบหนึ่งแทนด้วย $i:=\sqrt{-1}$ พอได้ยินคำว่า “จินตภาพ” ทำให้หลายคนคิดไปว่าจำนวนจินตภาพมีอยู่แค่ในจินตนาการ ไม่ได้มีอยู่จริง ประกอบกับความคิดที่ว่าจำนวนที่มีอยู่จริงจะต้องวัดค่าของมันออกมาได้ แต่จำนวนจินตภาพไม่มีสถานการณ์ที่เห็นได้ง่ายในชีวิตประจำวันที่เราอะไรแล้วได้ค่าเป็นจำนวนจินตภาพ ก็ยิ่งพาให้เราคิดว่าจำนวนจินตภาพนี้ไม่ได้มีอยู่จริง เป็นเพียงจินตนาการของนักคณิตศาสตร์เท่านั้น ในทางกลับกัน ในบทความนี้จะพาทุกคนกลับมาตั้งคำถามกับความเชื่อโดยไม่ได้ตั้งข้อสงสัย ว่าจำนวนจริงทุกจำนวนนั้นมีอยู่จริง จริง ๆ หรือ มีอยู่จริงในที่นี้มีความหมายในทำนองเดียวกันกับการตั้งคำถามกับจำนวนจินตภาพ เราจะพาตั้งคำถามว่าเราวัดค่าบางอย่างให้ออกมาเป็นจำนวนจริงได้หรือไม่ แน่นอนว่าเราวัดและจับต้องจำนวนที่เป็นจำนวนเต็ม เศษส่วนได้อยู่แล้ว สิ่งที่น่าสงสัยที่สุดก็คือจำนวนที่ไม่ได้เป็นเศษส่วนอย่างจำนวนอตรรกยะ (irrational numbers) เช่น $\pi$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, หรือ $\varphi$ (สัดส่วนทองคำ) อะไรเป็นจำนวนจริงบ้าง การให้คำนิยามของจำนวนจริง เช่น จำนวนจริงคือจำนวนที่อยู่บนเส้นจำนวนจริง จำนวนทุกจำนวน จำนวนที่มีอยู่จริง เหล่านี้ เป็นนิยามที่อาจจะพอทำให้เห็นภาพ แต่ก็ไม่ได้รัดกุมเท่าใดนักและสุ่มเสี่ยงที่จะสร้างความเข้าใจผิด ในบทความนี้เราจะไม่ได้อธิบายว่าจำนวนจริงคืออะไร นิยามอย่างไร แต่จะบอกว่าในเซตของจำนวนจริง $\mathbb{R}$ ประกอบไปด้วยอะไรบ้าง ในเซตของจำนวนจริงมี จำนวนนับ $\mathbb{N}$ (เช่น $1, 2, 3, \ldots$) จำนวนเต็ม $\mathbb{Z}$ (เช่น $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$) จำนวนตรรกยะ $\mathbb{Q}$ (จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม เช่น $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \ldots$) จำนวนอตรรกยะ $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ (เครื่องหมาย $\setminus$ หมายถึง เซตของสมาชิกใน $\mathbb{R}$ ที่ไม่อยู่ในเซต $\mathbb{Q}$) จำนวนอตกรรยะเป็นจำนวนที่สำคัญมากในการสร้างเซตของจำนวนจริงขึ้นมา หากไม่มีจำนวนอตรรกยะอยู่ในเซตนี้ เซตนี้จะเรียกว่าเป็นเพียงจำนวนตรรกยะเท่านั้น...

หลาย ๆ คนตอนเรียนน่าจะเรียนมาว่าเมทริกซ์คือตัวเลขที่เรียงกันในตาราง และก็นิยามการบวกว่าเป็นการดำเนินการในแต่ละสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน และนิยามการคูณว่าเป็นการนำแต่ละตัวในแถวไปคูณแต่ละตัวในหลัก คำถามที่ทุกคนน่าจะมีคือทำไมถึงนิยามเช่นนี้ มันมีความหมายอะไร เราได้ให้ตัวอย่างไปแล้วในสองบทความก่อนหน้า สำหรับบทความนี้ เราจะนำเสนอเมทริกซ์ในมุมมองที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เพื่อให้เห็นคอนเซปของเมทริกซ์แบบที่ไม่ได้ติดพันอยู่กับแค่บริบทใดบริบทหนึ่ง อย่างไรก็ดีเรานำเสนอตัวอย่างด้วยว่าเมทริกซ์สามารถบรรยายการขายผักได้ การคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์ และฟังก์ชันเชิงเส้น หนึ่งในวิธีที่จะเข้าใจเมทริกซ์คือการมองว่าเมทริกซ์เป็นการเขียนบรรยายฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัวแปรในรูปแบบหนึ่ง (ขอให้ทดไว้ในใจว่าจะเป็นฟังก์ชันตัวแปรเดียวก็ได้) ฟังก์ชันเชิงเส้น ฟังก์ชันเชิงเส้นหมายถึงฟังก์ชันประเภทที่มีหน้าตาเช่น $$f(x)=ax$$ โดยที่ $a$ เป็นค่าคงที่ และ $x$ เป็นตัวแปร ถ้ามีหลายตัวแปรก็จะเป็น $$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$$ โปรดระมัดระวังว่าสิ่งนี้ต่างจากการสมการเส้นตรงที่หน้าตาเป็น $$y=ax+b$$ เมื่อเราลองเทียบระหว่างการคูณเมทริกซ์กับการบรรยายฟังก์ชันเชิงเส้นตัวแปรเดียว เราจะเห็นว่าเราสามารถเขียนฟังก์ชันนี้ว่าเป็นการคูณระหว่างเมทริกซ์ขนาด $1\times n$ กับเมทริกซ์ขนาด $n\times 1$ ได้ $$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\dots&a_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}$$ หลายฟังก์ชันเชิงเส้น หลายตัวแปร ทีนี้ถ้าเราลองขยายแนวคิดนี้ออกไป แทนที่เราจะเขียนฟังก์ชันเพียงฟังก์ชันเดียว เรามีหลาย ๆ ฟังก์ชัน เช่น $$f_1(x_1,x_2,\dots,x_n)=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n$$ $$f_2(x_1,x_2,\dots,x_n)=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n$$ $$\vdots$$ $$f_m(x_1,x_2,\dots,x_n)=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n$$ เราสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์ได้เช่นกัน $$\vec{f} = \begin{bmatrix}f_1(x_1,x_2,\dots,x_n)\\ f_2(x_1,x_2,\dots,x_n)\\ \vdots\\ f_m(x_1,x_2,\dots,x_n)\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}}_{:= A}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}$$ นั่นก็คือการคูณเมทริกซ์ $A$ ขนาด $m\times n$ กับเวกเตอร์ขนาด $n$ (เมทริกซ์ขนาด $n\times 1$) สามารถมองได้ว่าคือการใส่ตัวแปรต้นจำนวน $n$ ตัว เข้าไปในฟังก์ชันเชิงเส้นจำนวน $m$ ฟังก์ชัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็คือเวกเตอร์ของตัวแปรตามขนาด $m$ ตัว เราอาจจะพอจำเป็นสโลแกนได้ดังนี้ ใช้ขายผัก สมมติว่าเราเปิดร้านขายผัก แต่ร้านนี้เพิ่งเปิดเงินลงทุนยังไม่มาก เรามีผักขายแค่สองชนิดคือผักชีและมะเขือเทศ (มะเขือเทศจัดเป็นผักได้ เช่นเดียวกับพริก บวบ ฟัก หรือมะเขือ อ้างอิง)...