คณิตศาสตร์

เรารู้ว่ามีสิ่งที่เรียกว่าจำนวนจินตภาพอยู่ นั่นคือจำนวนที่เป็นรากที่สอง (Square root) ของจำนวนที่เป็นลบ เช่น รากที่สองของลบหนึ่งแทนด้วย $i:=\sqrt{-1}$ พอได้ยินคำว่า “จินตภาพ” ทำให้หลายคนคิดไปว่าจำนวนจินตภาพมีอยู่แค่ในจินตนาการ ไม่ได้มีอยู่จริง ประกอบกับความคิดที่ว่าจำนวนที่มีอยู่จริงจะต้องวัดค่าของมันออกมาได้ แต่จำนวนจินตภาพไม่มีสถานการณ์ที่เห็นได้ง่ายในชีวิตประจำวันที่เราอะไรแล้วได้ค่าเป็นจำนวนจินตภาพ ก็ยิ่งพาให้เราคิดว่าจำนวนจินตภาพนี้ไม่ได้มีอยู่จริง เป็นเพียงจินตนาการของนักคณิตศาสตร์เท่านั้น ในทางกลับกัน ในบทความนี้จะพาทุกคนกลับมาตั้งคำถามกับความเชื่อโดยไม่ได้ตั้งข้อสงสัย ว่าจำนวนจริงทุกจำนวนนั้นมีอยู่จริง จริง ๆ หรือ มีอยู่จริงในที่นี้มีความหมายในทำนองเดียวกันกับการตั้งคำถามกับจำนวนจินตภาพ เราจะพาตั้งคำถามว่าเราวัดค่าบางอย่างให้ออกมาเป็นจำนวนจริงได้หรือไม่ แน่นอนว่าเราวัดและจับต้องจำนวนที่เป็นจำนวนเต็ม เศษส่วนได้อยู่แล้ว สิ่งที่น่าสงสัยที่สุดก็คือจำนวนที่ไม่ได้เป็นเศษส่วนอย่างจำนวนอตรรกยะ (irrational numbers) เช่น $\pi$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, หรือ $\varphi$ (สัดส่วนทองคำ) อะไรเป็นจำนวนจริงบ้าง การให้คำนิยามของจำนวนจริง เช่น จำนวนจริงคือจำนวนที่อยู่บนเส้นจำนวนจริง จำนวนทุกจำนวน จำนวนที่มีอยู่จริง เหล่านี้ เป็นนิยามที่อาจจะพอทำให้เห็นภาพ แต่ก็ไม่ได้รัดกุมเท่าใดนักและสุ่มเสี่ยงที่จะสร้างความเข้าใจผิด ในบทความนี้เราจะไม่ได้อธิบายว่าจำนวนจริงคืออะไร นิยามอย่างไร แต่จะบอกว่าในเซตของจำนวนจริง $\mathbb{R}$ ประกอบไปด้วยอะไรบ้าง ในเซตของจำนวนจริงมี จำนวนนับ $\mathbb{N}$ (เช่น $1, 2, 3, \ldots$) จำนวนเต็ม $\mathbb{Z}$ (เช่น $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$) จำนวนตรรกยะ $\mathbb{Q}$ (จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม เช่น $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \ldots$) จำนวนอตรรกยะ $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ (เครื่องหมาย $\setminus$ หมายถึง เซตของสมาชิกใน $\mathbb{R}$ ที่ไม่อยู่ในเซต $\mathbb{Q}$) จำนวนอตกรรยะเป็นจำนวนที่สำคัญมากในการสร้างเซตของจำนวนจริงขึ้นมา หากไม่มีจำนวนอตรรกยะอยู่ในเซตนี้ เซตนี้จะเรียกว่าเป็นเพียงจำนวนตรรกยะเท่านั้น...

หลาย ๆ คนตอนเรียนน่าจะเรียนมาว่าเมทริกซ์คือตัวเลขที่เรียงกันในตาราง และก็นิยามการบวกว่าเป็นการดำเนินการในแต่ละสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน และนิยามการคูณว่าเป็นการนำแต่ละตัวในแถวไปคูณแต่ละตัวในหลัก คำถามที่ทุกคนน่าจะมีคือทำไมถึงนิยามเช่นนี้ มันมีความหมายอะไร เราได้ให้ตัวอย่างไปแล้วในสองบทความก่อนหน้า สำหรับบทความนี้ เราจะนำเสนอเมทริกซ์ในมุมมองที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เพื่อให้เห็นคอนเซปของเมทริกซ์แบบที่ไม่ได้ติดพันอยู่กับแค่บริบทใดบริบทหนึ่ง อย่างไรก็ดีเรานำเสนอตัวอย่างด้วยว่าเมทริกซ์สามารถบรรยายการขายผักได้ การคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์ และฟังก์ชันเชิงเส้น หนึ่งในวิธีที่จะเข้าใจเมทริกซ์คือการมองว่าเมทริกซ์เป็นการเขียนบรรยายฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัวแปรในรูปแบบหนึ่ง (ขอให้ทดไว้ในใจว่าจะเป็นฟังก์ชันตัวแปรเดียวก็ได้) ฟังก์ชันเชิงเส้น ฟังก์ชันเชิงเส้นหมายถึงฟังก์ชันประเภทที่มีหน้าตาเช่น $$f(x)=ax$$ โดยที่ $a$ เป็นค่าคงที่ และ $x$ เป็นตัวแปร ถ้ามีหลายตัวแปรก็จะเป็น $$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$$ โปรดระมัดระวังว่าสิ่งนี้ต่างจากการสมการเส้นตรงที่หน้าตาเป็น $$y=ax+b$$ เมื่อเราลองเทียบระหว่างการคูณเมทริกซ์กับการบรรยายฟังก์ชันเชิงเส้นตัวแปรเดียว เราจะเห็นว่าเราสามารถเขียนฟังก์ชันนี้ว่าเป็นการคูณระหว่างเมทริกซ์ขนาด $1\times n$ กับเมทริกซ์ขนาด $n\times 1$ ได้ $$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\dots&a_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}$$ หลายฟังก์ชันเชิงเส้น หลายตัวแปร ทีนี้ถ้าเราลองขยายแนวคิดนี้ออกไป แทนที่เราจะเขียนฟังก์ชันเพียงฟังก์ชันเดียว เรามีหลาย ๆ ฟังก์ชัน เช่น $$f_1(x_1,x_2,\dots,x_n)=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n$$ $$f_2(x_1,x_2,\dots,x_n)=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n$$ $$\vdots$$ $$f_m(x_1,x_2,\dots,x_n)=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n$$ เราสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์ได้เช่นกัน $$\vec{f} = \begin{bmatrix}f_1(x_1,x_2,\dots,x_n)\\ f_2(x_1,x_2,\dots,x_n)\\ \vdots\\ f_m(x_1,x_2,\dots,x_n)\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}}_{:= A}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}$$ นั่นก็คือการคูณเมทริกซ์ $A$ ขนาด $m\times n$ กับเวกเตอร์ขนาด $n$ (เมทริกซ์ขนาด $n\times 1$) สามารถมองได้ว่าคือการใส่ตัวแปรต้นจำนวน $n$ ตัว เข้าไปในฟังก์ชันเชิงเส้นจำนวน $m$ ฟังก์ชัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็คือเวกเตอร์ของตัวแปรตามขนาด $m$ ตัว เราอาจจะพอจำเป็นสโลแกนได้ดังนี้ ใช้ขายผัก สมมติว่าเราเปิดร้านขายผัก แต่ร้านนี้เพิ่งเปิดเงินลงทุนยังไม่มาก เรามีผักขายแค่สองชนิดคือผักชีและมะเขือเทศ (มะเขือเทศจัดเป็นผักได้ เช่นเดียวกับพริก บวบ ฟัก หรือมะเขือ อ้างอิง)...

นอกจากการแก้สมการที่ได้พูดถึงไปในตอนที่ 1 แล้ว การคูณเมทริกซ์ยังมีความหมายอื่นอีก ในตอนนี้เราจะมาดูตัวอย่างว่าการคูณเมทริกซ์ในบริบทนอกจากการแก้สมการแล้ว ให้ความหมายอะไร สามารถใช้ไปซื้อผักได้หรือไม่ หนูนิดไปซื้อผักที่ตลาด ขอสมมติตัวละครหลักให้ชื่อว่าหนูนิด หนูนิดเป็นคนที่ออกจากบ้านไปซื้อผักที่ตลาดให้กับครอบครัวตอน 7 โมงเช้าทุกวัน แต่ก่อนจะไปซื้อผัก หนูนิดจะต้องแวะไปซื้อหนังสือพิมพ์ท้องถิ่นจากร้านหนังสือให้กับป้าข้างบ้าน และหลังจากนั้นค่อยไปซื้อผักที่ตลาด และค่อยกลับมาบ้าน สมมติว่าบ้าน ตลาด และร้านหนังสืออยู่ห่างกัน 5 นาที ถ้าเราดูว่าทุก ๆ 5 นาทีหนูนิดอยู่ที่ใด บ้าน ตลาด หรือร้านหนังสือ เราสามารถใช้เมทริกซ์มาบรรยายการเปลี่ยนตำแหน่งของหนูนิดได้ดังต่อไปนี้ เมทริกซ์และการเดินทางของหนูนิด เริ่มแรก เราจะแทนตำแหน่งของหนูนิดด้วย เลขหนึ่ง ในคอลัมน์เวกเตอร์​ $\vec{n}$ (คอลัมน์เวกเตอร์คืออเมทริกซ์ที่มีเพียง 1 คอลัมน์) และเริ่มต้นด้วยตำแหน่งของหนูนิดที่บ้าน ดังนี้ $$\vec{n} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$ ถ้าหนูนิดอยู่ที่ร้านหนังสือ เลขหนึ่งก็จะมาอยู่ที่แถวที่สองของเวกเตอร์ $\vec{n}$ และถ้าหนูนิดอยู่ที่ตลาด เลขหนึ่งก็จะมาอยู่ที่แถวที่สามของเวกเตอร์ $\vec{n}$ เรารู้ว่าตอน 7 โมงเช้า ในอีก 5 นาทีหนูนิดจะอยู่ที่ร้านหนังสือเพื่อซื้อหนังสือพิมพ์ให้ป้าข้างบ้าน ใน 5 นาทีถัดไปก็จะอยู่ที่ตลาดเพื่อซื้อผักและอีกห้านาทีถัดไปก็จะกลับมาที่บ้าน การเปลี่ยนตำแหน่งทั้งหมดของหนูนิดนี้สามารถบรรยายได้ด้วยเมทริกซ์ $T$ $$ T := \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$...

ว่าแต่เมทริกซ์คูณกันยังไง? หากใครจำไม่ได้แล้วว่าการคูณเมทริกซ์นั้นทำอย่างไร เราจะย้อนเตือนความจำกันด้วยสมการนี้ สมมติว่าเมทริกซ์ $A$ มีขนาด $2 \times 3$ และเมทริกซ์ $B$ มีขนาด $3 \times 2$ พอนำมาคูณกันเมทริกซ์ผลคูณ $AB$ จะมีขนาด $2 \times 2$ จากภาพตัวอย่าง จำง่าย ๆ ว่าอันนี้เรียกว่าหลักคูณแถว แปลไทยเป็นไทยทับศัพท์ก็คือเอาคอลัมน์มาคูณกับแถว สมาชิกตัวสีเหลืองในด้านขวาเกิดจากผลคูณของแต่ละตัวในด้านซ้าย ดังนี้ $1\times 4 + 2 \times 1 + 3 \times 3 = 15$ ลองถอยจากตัวอย่างนี้ เมทริกซ์ใด ๆ สองตัว สมมติเรียกว่า $A$ และ $B$ จะคูณกันได้ก็ต่อเมื่อจำนวนหลักของเมทริกซ์ $A$ เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ $B$ ขอสมมติว่าเท่ากันที่ $n$ (หลักสำหรับ $A$ แถวสำหรับ $B$) และผลลัพธ์ที่ได้จะมีขนาดเท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ $A$ และจำนวนหลักของเมทริกซ์ $B$ สมาชิกตำแหน่งที่ $ij$ (แถวที่ $i$ หลักที่ $j$) ของผลคูณ $AB$ จะเป็นไปตามสมการนี้ $$ AB_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj} $$...