แน่ใจนะว่าจำนวนจริงมีอยู่จริง

เรารู้ว่ามีสิ่งที่เรียกว่าจำนวนจินตภาพอยู่ นั่นคือจำนวนที่เป็นรากที่สอง (Square root) ของจำนวนที่เป็นลบ เช่น รากที่สองของลบหนึ่งแทนด้วย i:=1 พอได้ยินคำว่า “จินตภาพ” ทำให้หลายคนคิดไปว่าจำนวนจินตภาพมีอยู่แค่ในจินตนาการ ไม่ได้มีอยู่จริง ประกอบกับความคิดที่ว่าจำนวนที่มีอยู่จริงจะต้องวัดค่าของมันออกมาได้ แต่จำนวนจินตภาพไม่มีสถานการณ์ที่เห็นได้ง่ายในชีวิตประจำวันที่เราอะไรแล้วได้ค่าเป็นจำนวนจินตภาพ ก็ยิ่งพาให้เราคิดว่าจำนวนจินตภาพนี้ไม่ได้มีอยู่จริง เป็นเพียงจินตนาการของนักคณิตศาสตร์เท่านั้น ในทางกลับกัน ในบทความนี้จะพาทุกคนกลับมาตั้งคำถามกับความเชื่อโดยไม่ได้ตั้งข้อสงสัย ว่าจำนวนจริงทุกจำนวนนั้นมีอยู่จริง จริง ๆ หรือ มีอยู่จริงในที่นี้มีความหมายในทำนองเดียวกันกับการตั้งคำถามกับจำนวนจินตภาพ เราจะพาตั้งคำถามว่าเราวัดค่าบางอย่างให้ออกมาเป็นจำนวนจริงได้หรือไม่ แน่นอนว่าเราวัดและจับต้องจำนวนที่เป็นจำนวนเต็ม เศษส่วนได้อยู่แล้ว สิ่งที่น่าสงสัยที่สุดก็คือจำนวนที่ไม่ได้เป็นเศษส่วนอย่างจำนวนอตรรกยะ (irrational numbers) เช่น π, 2, 3, หรือ φ (สัดส่วนทองคำ) อะไรเป็นจำนวนจริงบ้าง การให้คำนิยามของจำนวนจริง เช่น จำนวนจริงคือจำนวนที่อยู่บนเส้นจำนวนจริง จำนวนทุกจำนวน จำนวนที่มีอยู่จริง เหล่านี้ เป็นนิยามที่อาจจะพอทำให้เห็นภาพ แต่ก็ไม่ได้รัดกุมเท่าใดนักและสุ่มเสี่ยงที่จะสร้างความเข้าใจผิด ในบทความนี้เราจะไม่ได้อธิบายว่าจำนวนจริงคืออะไร นิยามอย่างไร แต่จะบอกว่าในเซตของจำนวนจริง R ประกอบไปด้วยอะไรบ้าง ในเซตของจำนวนจริงมี จำนวนนับ N (เช่น 1,2,3,) จำนวนเต็ม Z (เช่น ,2,1,0,1,2,) จำนวนตรรกยะ Q (จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม เช่น 12,23,34,) จำนวนอตรรกยะ RQ (เครื่องหมาย หมายถึง เซตของสมาชิกใน R ที่ไม่อยู่ในเซต Q) จำนวนอตกรรยะเป็นจำนวนที่สำคัญมากในการสร้างเซตของจำนวนจริงขึ้นมา หากไม่มีจำนวนอตรรกยะอยู่ในเซตนี้ เซตนี้จะเรียกว่าเป็นเพียงจำนวนตรรกยะเท่านั้น...

December 29, 2023 · 2 min

ทำไมเมทริกซ์ถึงคูณกันอย่างนี้ (ตอนที่ 3): เมทริกซ์คืออะไร ?

หลาย ๆ คนตอนเรียนน่าจะเรียนมาว่าเมทริกซ์คือตัวเลขที่เรียงกันในตาราง และก็นิยามการบวกว่าเป็นการดำเนินการในแต่ละสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน และนิยามการคูณว่าเป็นการนำแต่ละตัวในแถวไปคูณแต่ละตัวในหลัก คำถามที่ทุกคนน่าจะมีคือทำไมถึงนิยามเช่นนี้ มันมีความหมายอะไร เราได้ให้ตัวอย่างไปแล้วในสองบทความก่อนหน้า สำหรับบทความนี้ เราจะนำเสนอเมทริกซ์ในมุมมองที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เพื่อให้เห็นคอนเซปของเมทริกซ์แบบที่ไม่ได้ติดพันอยู่กับแค่บริบทใดบริบทหนึ่ง อย่างไรก็ดีเรานำเสนอตัวอย่างด้วยว่าเมทริกซ์สามารถบรรยายการขายผักได้ การคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์ และฟังก์ชันเชิงเส้น หนึ่งในวิธีที่จะเข้าใจเมทริกซ์คือการมองว่าเมทริกซ์เป็นการเขียนบรรยายฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัวแปรในรูปแบบหนึ่ง (ขอให้ทดไว้ในใจว่าจะเป็นฟังก์ชันตัวแปรเดียวก็ได้) ฟังก์ชันเชิงเส้น ฟังก์ชันเชิงเส้นหมายถึงฟังก์ชันประเภทที่มีหน้าตาเช่น f(x)=ax โดยที่ a เป็นค่าคงที่ และ x เป็นตัวแปร ถ้ามีหลายตัวแปรก็จะเป็น f(x1,x2,,xn)=a1x1+a2x2++anxn โปรดระมัดระวังว่าสิ่งนี้ต่างจากการสมการเส้นตรงที่หน้าตาเป็น y=ax+b เมื่อเราลองเทียบระหว่างการคูณเมทริกซ์กับการบรรยายฟังก์ชันเชิงเส้นตัวแปรเดียว เราจะเห็นว่าเราสามารถเขียนฟังก์ชันนี้ว่าเป็นการคูณระหว่างเมทริกซ์ขนาด 1×n กับเมทริกซ์ขนาด n×1 ได้ f(x1,x2,,xn)=[a1a2an][x1x2xn] หลายฟังก์ชันเชิงเส้น หลายตัวแปร ทีนี้ถ้าเราลองขยายแนวคิดนี้ออกไป แทนที่เราจะเขียนฟังก์ชันเพียงฟังก์ชันเดียว เรามีหลาย ๆ ฟังก์ชัน เช่น f1(x1,x2,,xn)=a11x1+a12x2++a1nxn f2(x1,x2,,xn)=a21x1+a22x2++a2nxn fm(x1,x2,,xn)=am1x1+am2x2++amnxn เราสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์ได้เช่นกัน f=[f1(x1,x2,,xn)f2(x1,x2,,xn)fm(x1,x2,,xn)]=[a11a12a1na21a22a2nam1am2amn]:=A[x1x2xn] นั่นก็คือการคูณเมทริกซ์ A ขนาด m×n กับเวกเตอร์ขนาด n (เมทริกซ์ขนาด n×1) สามารถมองได้ว่าคือการใส่ตัวแปรต้นจำนวน n ตัว เข้าไปในฟังก์ชันเชิงเส้นจำนวน m ฟังก์ชัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็คือเวกเตอร์ของตัวแปรตามขนาด m ตัว เราอาจจะพอจำเป็นสโลแกนได้ดังนี้ ใช้ขายผัก สมมติว่าเราเปิดร้านขายผัก แต่ร้านนี้เพิ่งเปิดเงินลงทุนยังไม่มาก เรามีผักขายแค่สองชนิดคือผักชีและมะเขือเทศ (มะเขือเทศจัดเป็นผักได้ เช่นเดียวกับพริก บวบ ฟัก หรือมะเขือ อ้างอิง)...

December 22, 2023 · 2 min

ทำไมเมทริกซ์ถึงคูณกันอย่างนี้ (ตอนที่ 2): การคูณเมทริกซ์กับการไปซื้อผัก

นอกจากการแก้สมการที่ได้พูดถึงไปในตอนที่ 1 แล้ว การคูณเมทริกซ์ยังมีความหมายอื่นอีก ในตอนนี้เราจะมาดูตัวอย่างว่าการคูณเมทริกซ์ในบริบทนอกจากการแก้สมการแล้ว ให้ความหมายอะไร สามารถใช้ไปซื้อผักได้หรือไม่ หนูนิดไปซื้อผักที่ตลาด ขอสมมติตัวละครหลักให้ชื่อว่าหนูนิด หนูนิดเป็นคนที่ออกจากบ้านไปซื้อผักที่ตลาดให้กับครอบครัวตอน 7 โมงเช้าทุกวัน แต่ก่อนจะไปซื้อผัก หนูนิดจะต้องแวะไปซื้อหนังสือพิมพ์ท้องถิ่นจากร้านหนังสือให้กับป้าข้างบ้าน และหลังจากนั้นค่อยไปซื้อผักที่ตลาด และค่อยกลับมาบ้าน สมมติว่าบ้าน ตลาด และร้านหนังสืออยู่ห่างกัน 5 นาที ถ้าเราดูว่าทุก ๆ 5 นาทีหนูนิดอยู่ที่ใด บ้าน ตลาด หรือร้านหนังสือ เราสามารถใช้เมทริกซ์มาบรรยายการเปลี่ยนตำแหน่งของหนูนิดได้ดังต่อไปนี้ เมทริกซ์และการเดินทางของหนูนิด เริ่มแรก เราจะแทนตำแหน่งของหนูนิดด้วย เลขหนึ่ง ในคอลัมน์เวกเตอร์​ n (คอลัมน์เวกเตอร์คืออเมทริกซ์ที่มีเพียง 1 คอลัมน์) และเริ่มต้นด้วยตำแหน่งของหนูนิดที่บ้าน ดังนี้ n=(100) ถ้าหนูนิดอยู่ที่ร้านหนังสือ เลขหนึ่งก็จะมาอยู่ที่แถวที่สองของเวกเตอร์ n และถ้าหนูนิดอยู่ที่ตลาด เลขหนึ่งก็จะมาอยู่ที่แถวที่สามของเวกเตอร์ n เรารู้ว่าตอน 7 โมงเช้า ในอีก 5 นาทีหนูนิดจะอยู่ที่ร้านหนังสือเพื่อซื้อหนังสือพิมพ์ให้ป้าข้างบ้าน ใน 5 นาทีถัดไปก็จะอยู่ที่ตลาดเพื่อซื้อผักและอีกห้านาทีถัดไปก็จะกลับมาที่บ้าน การเปลี่ยนตำแหน่งทั้งหมดของหนูนิดนี้สามารถบรรยายได้ด้วยเมทริกซ์ T T:=(001100010)...

December 16, 2023 · 4 min

ทำไมเมทริกซ์ถึงคูณกันอย่างนี้ (ตอนที่ 1)

ว่าแต่เมทริกซ์คูณกันยังไง? หากใครจำไม่ได้แล้วว่าการคูณเมทริกซ์นั้นทำอย่างไร เราจะย้อนเตือนความจำกันด้วยสมการนี้ สมมติว่าเมทริกซ์ A มีขนาด 2×3 และเมทริกซ์ B มีขนาด 3×2 พอนำมาคูณกันเมทริกซ์ผลคูณ AB จะมีขนาด 2×2 จากภาพตัวอย่าง จำง่าย ๆ ว่าอันนี้เรียกว่าหลักคูณแถว แปลไทยเป็นไทยทับศัพท์ก็คือเอาคอลัมน์มาคูณกับแถว สมาชิกตัวสีเหลืองในด้านขวาเกิดจากผลคูณของแต่ละตัวในด้านซ้าย ดังนี้ 1×4+2×1+3×3=15 ลองถอยจากตัวอย่างนี้ เมทริกซ์ใด ๆ สองตัว สมมติเรียกว่า A และ B จะคูณกันได้ก็ต่อเมื่อจำนวนหลักของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ B ขอสมมติว่าเท่ากันที่ n (หลักสำหรับ A แถวสำหรับ B) และผลลัพธ์ที่ได้จะมีขนาดเท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ A และจำนวนหลักของเมทริกซ์ B สมาชิกตำแหน่งที่ ij (แถวที่ i หลักที่ j) ของผลคูณ AB จะเป็นไปตามสมการนี้ ABij=k=1nAikBkj...

December 10, 2023 · 2 min